天主说要有光，所以就有了麦克斯韦方程组。
撰文 | 长尾科技
咱们都知道麦克斯韦推导出了电磁波，然后经过核算发现电磁波的速度正好等于光速。所以，麦克斯韦就预言“光是一种电磁波”，这个预言后来被赫兹证明。
电磁波的发现让麦克斯韦和他的电磁理论走上了神坛，也让人类社会进入了无线电年代。你现在能够随时给远方的朋友打电话，能用手机刷大众号上的文章，都跟电磁波有着亲近的联络。这篇文章咱们先介绍从牛顿关于粒子的运动定律，怎样得出描绘波的动摇方程。
01 什么是波？
要了解电磁波，首要咱们得了解什么是波？有些人或许觉得这个问题有点古怪，什么是波这还用问么？我丢一块石头到水里，水面上就会构成一个水波；我颤动一根绳子，绳子上就会就会呈现一个动摇。日子中还有许多这种动摇现象，我尽管读书少，可是什么是波仍是知道的。
没错，水波、绳子上的动摇这些都是波，我在这儿抛出“什么是波？”这个问题并不是想来掰指头数一数哪些东西是波，哪些不是，而是想问：一切这些叫作波的东西有什么一同的特征？咱们怎样用一套一同的数学言语来描绘波？
咱们研讨物理，便是从万千改变的天然界的各种现象里总结出某种一同性，然后用数学的言语定量、准确的描绘这种一同的现象。现在咱们发现了水波、绳子上的波等许多现象都有这样一种动摇现象，那咱们天然就要去寻觅这种动摇现象背面一同的数学规则，也便是寻觅描绘动摇现象的方程，即动摇方程。
为了寻觅一同的动摇方程，咱们先来看看最简略的波：颤动一根绳子，绳子上就会呈现一个波沿着绳子移动，以稳定的频率颤动就会呈现接二连三的波。
为了更好地研讨绳子上的动摇，咱们先树立一个坐标系，然后把注意力会集到其间的一个波上。所以，咱们就看到一个波以必定的速度v向x轴的正方向（右边）移动，如下图：
那么，咱们该怎样去描绘这种动摇呢？
首要，咱们知道一个波是在不停地移动的，上图仅仅波在某个时刻的姿态，它下一个时刻就会往右边移动一点。移动了多少也很好核算：由于波速为v，所以Δt时刻今后这个波就会往右移动v·Δt的间隔。
别的，我不论这个时刻波是什么形状的曲线，横竖我能够把它当作一系列的点（x,y）的调集，这样咱们就能够用一个函数y=f(x)来描绘它（函数便是一种对应（映射）联络，在函数y=f(x)里，每给定一个x，经过必定的操作f(x)就能得到一个y，这一对（x,y）就组成了坐标系里的一个点，把一切这种点连起来就得到了一条曲线）。
然后，y=f(x)仅仅描绘某一个时刻的波的形状，假定咱们想描绘一个完好动态的波，就得把时刻t考虑进来。也便是说咱们的波形是跟着时刻改变的，即：我绳子上某个点的纵坐标y不只跟横轴x有关，还跟时刻t有关，这样的话咱们就得用一个二元函数y=f(x,t)来描绘一个波。
这一步很好了解，它无非告知咱们波是随时刻（t）和空间（x）改变的。可是这样还不行，世界上处处都是跟着时刻、空间改变的东西，比方苹果下落、篮球在天上飞，它们跟波的实质区别又在哪呢？
02 波的实质
细心想一下咱们就会发现：波在传达的时分，尽管不一同刻波地点的方位不相同，可是它们的形状始终是相同的。也便是说前一秒波是这个形状，一秒之后波尽管不在这个当地了，可是它依然是这个形状，这是一个很强的约束条件。有了这个约束条件，咱们就能把波和其它在时刻、空间中改变的东西区别开了。
咱们这样考虑：已然用f(x,t)来描绘波，那么波的初始形状（t=0时的形状）就能够表明为f(x,0)。经过了时刻t之后，波速为v，那么这个波就向右边移动了vt的间隔，也便是把初始形状f(x,0)往右移动了vt，那么这个成果能够这样表明：f(x-vt,0)。
为什么把一个函数的图画往右移动了一段vt，成果却是用函数的自变量x减去vt，而不是加上vt呢？这是一个中学数学问题，我这儿略微帮咱们回忆一下：你们想，假定我把一个函数图画f(x)往右移动了3，那么我本来在1这个当地的值f(1)，现在就成了4这个当地的函数值。所以，假定你还想用f(x)这个函数，那必定就得用4减去3（这样才干得到f(1)的值），而不是加3（4+3=7，f(7)在这儿可没有什么含义）。
所以，假定咱们用f(x,t)描绘波，那么初始时刻（t=0）的波能够表明为f(x,0)。经过时刻t之后的波的图画就等于初始时刻的图画往右移动了vt，也便是f(x-vt,0)。所以，咱们就能够从数学上给出波运动的实质：
也便是说，只需有一个函数满意f(x,t)=f(x-vt,0)，满意恣意时刻的形状都等于初始形状平移一段，那么它就表明一个波。水波、声波、绳子上的波、电磁波、引力波都是如此，这也很契合咱们对波的直观了解。
这儿咱们是从纯数学的视点给出了波的一个描绘，下面咱们再从物理的视点来剖析一下波的构成原因，看看能不能得到更多的信息。
03 张 力
一根绳子放在地上的时分是停止不动的，咱们甩一下就会呈现一个动摇。咱们想一想：这个波是怎样传到远方去的呢？咱们的手仅仅拽着绳子的一端，并没有碰到绳子的中心，可是当这个波传到中心的时分绳子的确动了，绳子会动就表明有力效果在它身上（牛爵爷告知咱们的道理），那么这个力是哪里来的呢？
略微剖析一下咱们就会发现：这个力只或许来自绳子相邻点之间的彼此效果，每个点把自己近邻的点“拉”一下，近邻的点就动了（就跟咱们列队报数的时分只告知你周围的那个人相同）这种绳子内部之间的力叫张力。
张力的概念也很好了解，比方咱们用力拉一根绳子，我分明对绳子施加了一个力，可是这根绳子为什么不会被拉长？跟我的手最近的那个点为什么不会被拉动？
答案天然是这个点邻近的点给这个质点施加了一个相反的张力，这样这个点一边被我拉，另一边被它邻近的点拉，两个力的效果抵消了。可是力的效果又是彼此的，邻近的点给端点施加了一个张力，那么这个邻近的点也会遭到一个来自端点的拉力，可是这个邻近的点也没动，所以它也必然会遭到更里面点的张力。这个进程能够一向传达下去，终究的成果便是这跟绳子一切的当地都会张力。
并且，咱们还能够判定：假定绳子的质量忽略不计，绳子也没有打结没有被拉长，那么绳子内部的张力处处持平（只需有一个点两头的张力不等，那么这个点就应该被拉走了，绳子就会被拉变形），这是个很重要的定论。
经过上面的剖析，咱们知道了当一根抱负绳子处于紧绷状况的时分，绳子内部存在处处持平的张力。当一根绳子停止在地上的时分，它处于松懈状况，没有张力，可是当一个波传到这儿的时分，绳子会变成一个波的形状，这时分就存在张力了。正是这种张力让绳子上的点上下振荡，所以，剖析这种张力对绳子的影响就成了剖析动摇现象的要害。
04 波的受力剖析
那么，咱们就从处于动摇状况的绳子中挑选很小的一段AB，咱们来剖析一下这个小段绳子在张力的效果下是怎样运动的。定心，咱们这儿并不会触及什么杂乱的物理公式，咱们所需求的公式就一个，大名鼎鼎的牛顿第二定律：F=ma。
牛顿第必定律告知咱们“一个物体在不受力或许遭到的合外力为0的时分会坚持停止或许匀速直线运动状况”，那么假定合外力不为0呢？牛顿第二定律就接着说了：假定合外力F不为零，那么物体就会有一个加速度a，它们之间的联络就由 F=ma 来定量描绘（m是物体的质量）。也便是说，假定咱们知道一个物体的质量m，只需你能剖分出它遭到的合外力F，那么咱们就能够依据牛顿第二定律F=ma核算出它的加速度a，知道加速度就知道它接下来要怎样动了。
牛顿第二定律就这样把一个物体的受力状况（F）和运动状况（a）结合起来了，咱们想知道一个物体是怎样动的，只需去去剖析它遭到了什么力就行了，所以它牛。
再来看咱们的波，咱们从处于动摇状况的绳子里选取很小的一段AB，咱们想知道AB是怎样运动的，就要剖析它遭到的合外力。由于不考虑绳子的质量，所以就不必考虑绳子的重力，那么，咱们就只需剖析绳子AB两头的张力T就行了。
如上图，绳子AB遭到A点朝左下方的张力T和B点朝右上方的张力T，并且咱们还知道这两个张力是持平的，所以才把它都记为T。可是，咱们知道动摇部分的绳子是曲折的，那么这两个张力的方向是不相同的，这一点从图中能够十分显着的看出来。咱们假定A点处张力的方向跟横轴夹角为θ，B点跟横轴的夹角就显着不相同了，咱们记为θ+Δθ。
由于绳子上的点在动摇时是上下运动，所以咱们只考虑张力T在上下方向上的重量，水平方向上的就不考虑了。那么，咱们把AB两点的张力T都分化一下，略微用一点三角函数的常识咱们就能发现：A点出向上的张力为T·sin（θ+Δθ），B点向下的张力为T·sinθ。那么，整个AB段在竖直方向上遭到的合力就等于这两个力相减：F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ。
好了，依照牛顿第二定律F=ma，咱们需求知道物体的合外力F、质量m和加速度a，现在咱们现已知道了合外力F，那么质量m和加速度a呢？
05 波的质量剖析
质量好说，咱们假定绳子单位长度的质量为μ，那么长度为Δl的绳子的质量便是μ·Δl。
可是，由于咱们取的是十分小的一段，咱们假定A点的横坐标为x，B点的横坐标为x+Δx，也便是说绳子AB在横坐标的投影长度为Δx，那么，当咱们取的绳长十分短的时分，咱们就能够近似用Δx替代Δl，这样绳子的质量就能够表明为：μ·Δx。
质量搞定了，剩余的便是加速度a了。你或许以为我现已得到了合外力（F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ）和质量m（μ·Δx），那么剩余必定便是用合外力F除以质量m得到加速度a（牛顿第二定律），不不不，这样就不好玩了。咱们还能够从另一个视点来得到加速度a，然后把它们作为拼盘拼起来。从哪里得到加速度呢a？从描绘波的函数f(x,t)里。
06 波的加速度剖析
不知道咱们还记得咱们在前面说的这个描绘波的函数 y=f(x,t) 么？这个函数的值y表明的是在x这个当地，时刻为t的时分这一点的纵坐标，也便是波的高度。咱们现在要求的也便是AB上下动摇时的加速度，那么，怎样从这个描绘点方位的函数里求出加速度a呢？
这儿咱们再来了解一下加速度a，什么叫加速度？从姓名就能够感觉到，这个量是用来衡量速度改变快慢的。加速度嘛，必定是速度加得越快，加速度的值就越大。假定一辆车第1秒的速度是2m/s，第2秒的速度是4m/s，那么它的加速度便是用速度的差（4-2=2）除以时刻差（2-1=1），成果便是2m/s 。
再来回想一下，咱们是怎样求一辆车的速度的？咱们是用间隔的差来除以时刻差的。比方一辆车第1秒钟间隔起点20米，第2秒钟间隔起点50米，那么它的速度便是用间隔的差（50-20=30）除以时刻差（2-1=1），成果便是30m/s。
不知道咱们从这两个比如里发现了什么没有？我用间隔的差除以时刻差就得到了速度，我再用速度的差除以时刻差就得到了加速度，这两个进程都是除以时刻差。那么，假定我把这两个进程合到一块呢？那是不是就能够说：间隔的差除以一次时刻差，再除以一次时刻差就能够得到加速度？
这样表述并不是很准确，可是能够很便利的让咱们了解这个思维。假定把间隔看作关于时刻的函数，咱们对这个函数求一次导数（便是上面的间隔差除以时刻差，只不过趋于无量小）就得到了速度的函数，对速度的函数再求一次导数就得到了加速度的表明。所以，咱们把一个关于间隔（方位）的函数对时刻求两次导数，就能够得到加速度的表达式。
波的函数 f(x,t) 不便是描绘绳子上某一点在不一同刻t的方位么？那咱们对 f(x,t) 求两次关于时刻的导数，天然就得到了这点的加速度a。由于函数f是关于x和t两个变量的函数，所以咱们只能时刻的偏导 f/ t，再求一次偏导数就加个2上去。所以咱们就能够这样表明这点的加速度a= f/ t 。
这样，咱们就把牛顿第二定律F=ma的三要素都凑齐了：F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ，m=μ·Δx，a= f/ t 。把它们调集在一同就能够呼唤神，阿不，就能够写出AB的运动方程了：
这个用牛顿第二定律写出来的动摇方程，看起来怎样样？嗯，好像有点丑，看起来也不太明晰，方程左面的东西看着太麻烦了，咱们还需求对它进行一番改造。那怎样改造呢？咱们能够先把sinθ给干掉。
07 方程的改造
为了能够顺畅地干掉sinθ，咱们先来回忆一下根本的三角函数：
如上图，右边是一个直角三角形abc，那么角θ的正弦值sinθ等于对边c除以斜边a，正切值tanθ等于对边c除以邻边b。
当这个视点θ还很大的时分，a比b要显着长一些。可是，一旦视点θ十分十分小，能够幻想，邻边b和斜边a就快要重合了。这时分咱们是能够近似的以为a和b是持平的，也便是a≈b，所以就有c/b≈c/a，即tanθ≈sinθ。
也便是说，在视点θ很小的时分，咱们能够用正切值tanθ替代正弦值sinθ。咱们假定这跟绳子的扰动十分小，形变十分小，那么θ和θ+Δθ就都十分小，那么它们的正弦值就都能够用正切值替代。所以，那个动摇方程左面的sin(θ+Δθ)-sinθ就能够替换为：tan(θ+Δθ)-tanθ。
为什么咱们要用正切值tanθ替代正弦值sinθ呢？由于正切值tanθ还能够代表一条直线的斜率，代表曲线在某一点的导数。想想正切值的表达式tanθ=c/b，假定建一个坐标系，那么这个c刚好便是直线在y轴的投影dy，b便是在x轴的投影dx，它们的比值刚好便是导数dy/dx，也便是说tanθ=dy/dx。
可是，由于波的函数f(x,t)是关于x和t的二元函数，所以咱们只能求某一点的偏导数，那么正切值就等于它在这个点的偏导数：tanθ= f/ x。那么，本来的动摇方程就能够写成这样：
这儿我略微解释一下偏导数的符号，咱们用 f/ x表明函数f(x,t)的偏导数，这是一个函数，x能够取各式各样的值。可是假定我加一个竖线|，然后在竖线的右下角标上x+Δx就表明我要求在x+Δx这个当地的导数。
再来看一下这个图，咱们现已约好了A点的横坐标为x，对应的视点为θ；B点的横坐标是x+Δx，对应的视点为θ+Δθ。所以，咱们能够用x+Δx和x这两处的偏导数值替代θ+Δθ和θ这两处的正切值tan（θ+Δθ）和tanθ，所以动摇方程才干够写成上面那样：
接着，假定咱们再对方程的两头一同除以Δx，那左面就变成了函数 f/ x在x+Δx和x这两处的值的差除以Δx，这其实便是 f/ x这个函数的导数表达式。也便是说，两头一同除以一个Δx之后，左面就变成了偏导数 f/ x对x再求一次导数，那便是f(x,t)对x求二阶偏导数了。
上面咱们用咱们现已用 f/ t 来表明函数对t的二阶偏导数，那么这儿天然就能够用 f/ x 来表明函数对x的二阶偏导数。然后两头再一同除以T，得到方程就简练多了：
把方程左面的tan(θ+Δθ)-tanθ变成了函数f(x,t)对空间x的二阶偏导数，这个进程十分的重要，咱们能够好好领会一下这个进程。正切值tanθ便是一阶导数，然后两个正切值的差除以自变量的改变就又产生了一次导数，所以一共就有了两阶，所以咱们才干得到上面那个简练的式子。
08 经典动摇方程
再看看方程右边的μ/T，假定你细心去算一下μ/T的单位，你会发现它刚好便是速度的平方，也便是说假定咱们把一个量界说成μ/T的平方根，那么这个量的单位刚好便是速度的单位。能够幻想，这个速度天然便是这个波的传达速度v：
这样界说速度v之后，咱们终究的动摇方程就能够露脸了：
这个方程便是咱们终究要找的经典动摇方程，为什么把它作做经典的动摇方程呢？由于它没有考虑量子效应啊，在物理学里，经典便对错量子的近义词。假定咱们要考虑量子效应，这个经典的动摇方程就没用了，咱们就必须转而运用量子的动摇方程，那便是大名鼎鼎的薛定谔方程。
薛定谔便是从这个经典动摇方程动身，结合德布罗意的物质波概念，硬猜出了薛定谔方程。这个方程让物理学家们从被海森堡的矩阵分配的惊骇中解脱了出来，从头回到了微分方程的美好世界。薛定谔方程尽管凶猛，可是它并没有考虑狭义相对论效应，而高速运动（近光速）的粒子在微观世界是很常见的，咱们也知道当物体挨近光速的时分就必须考虑相对论效应，可是薛定谔方程并没有做到这一点。
终究让薛定谔方程相对论化是狄拉克，狄拉克把自己关在房间三个月，终究逼出了相同大名鼎鼎的狄拉克方程。狄拉克方程初次从理论上预言了反物质（正电子），尽管其时的科学家们以为狄拉克这是在捣乱，可是我国的物理学家赵忠尧先生却几乎在一同就初次在试验室里观测到了正负电子湮灭的状况。
别的，狄拉克的作业也推动了量子场论的诞生，打开了一扇让人无比向往的新世界大门。物理学家们沿着这条路驯服了电磁力、强力、弱力，树立起了粒子物理的规范模型，所以四海清平，全国大定，除了那该死的引力。这些精妙绝伦的故事咱们后边再讲，假定把这些故事写成一本《量子英雄传》，嗯，必定不比金庸的武侠差劲~
好了，回归正题，看到这个经典动摇方程到后边还能掀起那么大的浪来，是不是忽然就对它肃然起敬了呢？咱们这样一顿操作推导出了经典动摇方程，有的朋友或许有点懵，没联络，咱们再来捋一下。这个看着很杂乱的，包含了二阶偏导数的方程其实就仅仅告知咱们：咱们把这跟绳子极小的一段看作一个质点，那么这个质点满意牛顿第二定律F=ma，仅此而已。
09 复 盘
咱们整个推导进程不过便是去寻觅F=ma中的这三个量。咱们把绳子的张力在竖直方向做了分化，然后得到了它在竖直方向上的合力F（T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ）；咱们界说了单位长度的质量μ，然后就能够核算那小段绳子的质量m（μ·Δx）；咱们经过对波的函数f(x,t)的剖析，发现假定对这种表明间隔（位移）的函数对时刻求一次偏导数就得到了速度，再求一次偏导数就得到了加速度，所以咱们就得到了这段绳子的加速度a（ f/ t ）。然后咱们就把这些量依照牛顿第二定律F=ma拼了起来。
在处理问题的进程中，咱们做了许多近似：由于咱们是获得很小的一段，那么咱们就能够用Δx近似替代绳子的长度Δl；假定扰动很小，绳子违背x轴很小，那么视点θ就很小，咱们就近似用正切值tanθ替代正弦值sinθ。许多人乍一看，觉得这么严厉的推导怎样能这么随意的近似呢？你这儿近似那里近似，得到的终究成果仍是准确的么？
要了解这个问题，就得正式去学习微积分了，我现在告知你微积分的中心思维便是一种以直代曲的近似，你信么？微积分里便是用各种小段小段的直线去近似的替代曲线，可是得到的成果却是十分准确的。由于咱们能够把这些线段获得十分十分的小，或许说是无量小，那么这个差错也就渐渐变成无量小了。所以咱们在剖析这跟绳子的时分，也都强调了是取十分小的一段，给一个十分小的扰动，得到一个十分小的视点θ。
别的，tanθ便是一次导数，然后它们的差再除以一次Δx，就又呈现了一次导数，所以方程的左面就呈现了f(x,t)对方位x的两次偏导数。方程的右边便是函数f(x,t)对时刻t求两次偏导数得到的加速度a（求一次导数得到速度，求两次就得到加速度）。
所以，尽管咱们看到的是一个动摇方程，其实它仅仅一个变装了的牛顿第二定律F=ma。了解这点，动摇方程就没什么古怪的了。咱们再来细心的审视一下这个方程：
这个动摇方程的含义也很直观，它告知咱们f(x,t)这样一个随时刻t和空间x改变的函数，假定这个二元函数对空间x求两次导数得到的 f/ x 和对时刻t求两次导数得到的 f/ t 之间满意上面的那种联络，那么f(x,t)描绘的便是一个波。
假定咱们去解这个方程，咱们得到的便是描绘波的函数f(x,t)。而咱们前面临波做数学剖析的时分得到了这样一个定论：假定一个函数f(x,t)描绘的波，那么就必定满意f(x,t)=f(x-vt,0)。所以，动摇方程的解f(x,t)必定也都满意前面这个联络，这一点感兴趣的朋友能够自己下去证明一下。
好了，经典的动摇方程咱们就先讲到这儿。有了动摇方程，你会发现咱们经过几步简略的运算就能从麦克斯韦方程组中推导出电磁波的方程，然后还能确认电磁波的速度。
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