《终究的数学识题》
内容简介
数学是人类的发明仍是发现？数学无处不在、无所不能的威力从何而来？本书叙述了数学概念的演化进程，从哲学、前史、文明视点探讨了数学的实质，提醒了数学与物质国际、与人类思想之间的奇妙联系，评论了困惑几代思想家的重大问题，叙述了数学、哲学和物理学大师们的日子阅历与思想，是一本风趣的数学思想史作品。
作者简介
马里奥·利维奥（Mario Livio ），哈勃太空望远镜科学研讨所的天体物理学家，科学和数学科普作家，美国科学促进协会会员，卡内基基金会“世纪优异教授”，皮亚诺奖和国际毕达哥拉斯数学畅销书奖得主。其许多数学和天体物理学范畴的文章在《天然》《经济学人》《科学》等威望期刊上得到极高点评。
书本摘抄
第 1 章 未解之谜（节选）
几年前，我在美国康奈尔大学做过一个讲演。其时，我的一张幻灯片的标题是：“天主是数学家吗？”当这张幻灯片放出来时，我听到坐在前排的一位学生倒吸了一口凉气，说：“哦，天啊，我希望不是如此。”
我之所以提出这个问题，既不是由于我计划从哲学上界说天主，也不是由于我有意吓唬那些惧怕数学的人。我仅仅想向听众介绍一个让许多最富立异的大脑苦苦思索了几个世纪的疑团——数学“无所不在、无所不能”的力气，而这类特征一般只要在人们描绘一位神明时才会用到。正如英国物理学家詹姆斯·金斯（James Jeans，1877—1946）所说：“国际看上去是由一位理论数学家规划的。”数学形似不只在描绘和解说整个国际时过分有用，乃至在描绘和解说一些最混沌的人类活动时也是如此。
不论是物理学家企图结构种种关于国际的理论，证券剖析师费尽心机猜测下一次股价暴降的时刻，神经生物学家测验为脑功用建模，仍是军事情报统计师力求优化资源配置，他们都要运用数学。此外，尽管他们运用的或许是从不同数学分支开展出来的方式系统，但他们依然仰赖的是同一个完好、内涵共同的数学。那么，是什么赋予了数学如此惊人的威力？或许，正如爱因斯坦曾猎奇地提问：“数学，这个独立于经历的人类思想的产品，为何能如此完美地契合物理实在中的目标？”
这样的困惑古已有之。一些古希腊哲学家，特别是毕达哥拉斯和柏拉图，早就惊叹于数学刻画并分配国际的显而易见的才干，一同知道到，数学的存在形似无法被人类所改动、引导或影响。英国政治哲学家托马斯·霍布斯（Thomas Hobbes，1588—1679）也无法粉饰自己的敬重之情。在评论社会和政府根底的《利维坦》一书中，他将几何学作为理性证明的模范：
“已然真理存在于由各种称号正确排序后所组成的断语中，那么寻求谨慎真理的人就需求记住他所运用的每个称号的意义，并把它们放于相应的当地，不然他会发现自己困于文字的羁绊中，就好像一只被抹了胶的树枝粘住的小鸟，越挣扎越不能自拔。因而，在几何学（这是迄今为止仅有令天主满足并赏赐给人类的学识）中，人们首要确认称号的意义（他们把确认意义称为‘界说’），并把它们作为认知的起点。”
上千年来，令人形象深入的数学研讨和渊博的哲学考虑都没有实在解说清楚数学力气的奥妙，乃至能够说，在某种意义上，数学的这种奥秘感又加重了。比方，闻名的英国牛津大学数学物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）知道到，人类周围不只要一个国际，而应该有三个奥秘国际。按彭罗斯的区分，这三个国际是：知道感知的国际、物理实际的国际和数学方式的柏拉图国际。榜首个国际是咱们一切精力印象的家乡，包含咱们看到自己孩子笑脸时的欢欣愉悦，赏识落日余晖壮美风光时的心旷神怡，或许调查怵目惊心的战役场面时的惊骇和憎恨。在这个国际中还包含爱、嫉妒、成见、惧怕，以及咱们赏识音乐、闻到美食时的感觉。第二个国际便是咱们日常所说到的物理实际国际，包含鲜花、阿司匹林药片、白云、喷气式飞机，还有星系、行星、原子、狒狒的心脏和人类的大脑，这些实在存在的东西构成了这个国际。第三个国际是数学方式的柏拉图国际。这里是数学的家乡，对彭罗斯而言，这个国际和精力国际与物理国际相同，也是实在存在的，在其间有天然数 1, 2, 3, 4,…，欧几里得几何学中的一切图形和定理，牛顿运动规则、弦论、突变论以及研讨股票市场行为的数学模型等。彭罗斯还调查到了这三个国际之间奥秘相连的三种现象。首要，物理国际的运转好像遵从着必定的规则，而这些规则实在存在于数学国际中。这也令爱因斯坦感到困惑。诺贝尔物理学奖得主尤金·维格纳（Eugene Wigner，1902—1995）也有相同的疑问：
“数学言语适于表达物理规则，这种奇观是上天赐予咱们的绝妙礼物。事实上，咱们并未实在了解这份礼物，一同也受之有愧。咱们应当感谢这份礼物，希望它在未来的研讨中依然有用，而且能够给予咱们欢喜，抑或困惑——不管是好仍是坏——以及广泛的学识。”
其次，人类感知心智（perceiving mind）自身——这是咱们片面认知才干的源泉——好像来自物理国际。心智究竟是怎么从物质中发生的？咱们是否能够将人类知道的作业机制上升为一种理论，令其好像今日的电磁场理论那样条理明晰、令人信服？终究，这三个国际奥秘地联到一同，形成了一个闭合的圆。通过发现或发明笼统的数学公式和概念，并将它们明晰地表达出来，感知心智才得以奇观般地进入数学王国之中。
彭罗斯并未给出任何关于这三个国际奥秘现象的解说。实际上，他的定论非常简练：“毫无疑问，并不实在存在三个国际，而是只要一个国际。而且直到目前为止，关于这个实在国际的实质，咱们对它的知道乃至连浅薄也谈不上。”英国作家艾伦·贝内特（Alan Bennett）发明的戏曲《四十年来》（Forty Years On）中的那位教师也答复过相似的问题，与之比较，彭罗斯的答复可谓谦逊而率直。下面便是那位教师的答复。
福斯特：先生，我对（圣父、圣灵、圣子）三位一体的说法依然有点困惑。
教师：三合为一，一分为三，简略明了。对此有任何疑问，就去讨教你的数学老师。
这个谜题乃至比我方才说到的那个问题更扑朔迷离。运用数学成功解说咱们周围的国际（维格纳称之为“数学无理由的有用性”），实际上能够从两个方面去知道，它们都相同令人惊奇。榜首，是其“自动”的一面。当物理学家在天然的迷宫里迷失方向时，数学会为他们照亮前方的路途，他们运用和发明的东西、树立的模型，以及他们所希望得到的解说，一切这些都离不开数学。明显，这自身便是一个奇观。牛顿调查到了落地的苹果、月亮和海滩上的潮汐（我不是很坚信他是否实在看见了），不过他所看到的可都不是数学方程式。可是牛顿却从这些天然现象中笼统并总结出了明晰、简练、精准的数学规则。相同，苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831—1879）在 19 世纪 60 时代拓宽了经典物理学范畴。他仅仅运用 4 个数学公式，就解说了一切已知的电磁学现象。能够幻想，电磁学和光学试验一般充满着许多细节性信息，数据量非常巨大，曾经都需求用许多篇幅才干概括和解说一切这些现象和定论，但现在只需求 4 个简练的方程式就够了！爱因斯坦的广义相对论更令人惊叹，它是数学理论中极度精确与自相共同的一个完美典范，这个理论提醒的正是如时空结构一类的根底事物。
除了“自动”的一面之外，数学的奥秘效应还包含“被迫”的一面，让人意想不到的是，后者乃至会令前者相形见绌。当数学家研讨、探究数学概念以及各种概念之间的联系时，有时仅仅出于理论研讨的意图，肯定没有考虑过理论的有用性问题。可是在几十年后（有时乃至是几百年后），人们忽然发现，他们的理论出其不意地为物理实际问题供给了处理方案。你或许要问，这怎么或许呢？那位行为乖僻的英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代（Godfrey Harold Hardy，1877—1947）的比如就非常风趣。哈代为他的纯理论数学研讨感到非常骄傲，他曾断语：“我的发现今日没有、将来也不会给国际带来一点点影响——不管这种影响是直接仍是直接的，有利抑或有害的。”猜猜成果怎么？他错了！他的一项研讨成果被命名为“哈代 – 温伯格规则”，这是以哈代和德国物理学家威廉·温伯格（Wilhelm Weinberg，1862—1937）的姓名命名的，该规则是遗传学家研讨人口进化的根底。简略地说，哈代 – 温伯格规则以为：假设一个基数很大的人口集体随机婚配（没有人口迁移、基因突变和选择性婚配），基因构成将坚持稳定，而且不因代代改变而改变。表面上，哈代研讨的是笼统的数论——一门研讨天然数的学科，但人们出其不意地发现其研讨成果能处理实际问题。1973 年，英国数学家克利福德·柯克斯（Clifford Cocks）运用数论在密码学范畴取得了突破性开展。柯克斯的研讨成果再次证明了哈代的言辞现已过期。哈代在其 1940 年出书的那本闻名的作品《一个数学家的分辩》中宣称：“还没有人发现数论能被用于战役意图。”很明显，他又错了！在现代军事信息传递中，密码学肯定不可或缺。因而，尽管哈代是最有名的有用数学批评论者，可是终究仍是被“拽去”研讨具有有用价值的数学理论了——假设他还在世的话，必定会对此大声诉苦。
这仅仅冰山一角。开普勒和牛顿发现了太阳系行星运转轨迹是椭圆形的，而古希腊数学家门奈赫莫斯（Menaechmus）在两千年前，即大约公元前 350 年就现已研讨过这条曲线了。波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826—1866）在 1854 年的一次经典讲演中概括了几门新式几何学的首要内容，它们刚好是爱因斯坦解说国际结构时所必需的东西。还有一门叫作“群论”的数学“言语”，它是由年青的数学天才伽罗瓦（Evariste Galois，1811—1832）创立的。起先，群论仅仅用来判别代数方程式的可解性，但今日，它现已被物理学家、工程师、言语学家乃至人类生态学家们广泛运用，用来研讨简直一切的对称性问题。此外，数学上的对称概念在某种程度上还推翻了整个科学的研讨进程。几个世纪以来，科学家知道国际的榜首步都是在重复试验和试错后，搜集汇总数据和成果，再从其间概括出通用的天然规则。这种整理进程从部分调查开端，之后像拼图相同，调查成果被一块块地拼接起来。进入 20 世纪后，人们知道到条理明晰的数学规划并描绘了亚原子国际的根底结构，所以，今世物理学家们开端反其道而行之。他们把数学的对称性置于榜首位，坚持以为天然规则和构成事物的基本要素应当遵从某种特定形式，并依据这种要求，推表演通用规则。天然界是怎么知道应当遵从数学上的对称原理呢？
在 1975 年的某天，年青的数学物理学家米奇·费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）在美国洛斯阿拉莫斯国家试验室运用他的 HP - 65 便携式计算器演算一个简略的方程式。他逐渐注意到，计算器上的数越来越挨近一个特定的数：4.669...。他惊奇地发现，在演算其他方程式时，这个奇特的数再次呈现了。费根鲍姆尽管还不能解说其间的原因，但他很快就得出定论，自己发现的这个数好像标志着从有序到混沌过渡时的某种普遍性规则。你大可不必对此感到惊奇，物理学家们在一开端时都是怀疑论者。究竟是什么原因导致那些看起来差异极大的系统行为背面具有相同的数学特征呢？专家通过半年的评定，仍是将费根鲍姆就此专题编撰的榜首篇论文退稿了。不久之后，试验证明当液态氦从底部开端加热时，其改变进程同费根鲍姆的通用处理方案的猜测成果刚好相同。人们发现不只这一种系统会如此表现。费根鲍姆发现的这一令人惊奇的数不光呈现在流体从有序流向紊乱的转化进程中，也会呈现在水龙头滴水的进程中。
此后人们才证明了，许多学科研讨都需求数学的“预言”，这样的状况仍在不断演出。数学国际和实在（物理）国际之间那种奥秘的、意想不到的相互影响，在纽结理论（这是一门研讨绳结的学科）中得到了生动表现。数学上的“纽结”与实际中绳子上的结非常相似，只不过，这根绳子的头与尾有必要衔接在一同。也便是说，数学上的纽结坐落一条闭合的、没有自在活动绳端的曲线之上。说来古怪，创立纽结理论的首要原因是 19 世纪开展起来的一种过错的原子结构模型。这个模型在提出 20 年后就被证明是过错的了，可是，纽结理论作为一门相对难以了解的理论数学分支，却在不断开展演化。出其不意的是，数学家在纽结理论范畴所做的笼统探究，忽然间在现代科学研讨中有了非常广泛的运用。其运用规模包括脱氧核糖核酸（DNA）分子结构、弦论（弦论企图将亚原子国际和引力一致同来），等等。咱们将在第 8 章具体评论这个不同寻常的故事，由于这段“循环”的前史也许是一个最好的例子，充分说明了数学各分支怎么在人类企图解说物理现象的进程中发生，随后怎么进入数学的笼统王国，并在其间开展，终究又怎么出其不意地回到了物理国际的起点。
我上面叙述的这些简略的故事现已充分证明，咱们所在的国际受数学分配——至少知道、剖析国际的进程深受数学的影响。正如本书即将展示的，大多数（也许是悉数）人类活动好像源于数学，对此，人类自己乃至底子没有知道到。
正如我在本章开端时介绍的，数学无理由的有用性发生了许多风趣的问题：数学是一种彻底独立于人类心智的存在吗？换句话说，咱们是否仅仅发现了本已存在的数学真理，恰如天文学家发现从前未被人类调查到的星系那样？如若不是，莫非数学仅是人类的一项发明？假设数学实在存在于某个笼统国际之中，那么这个奥秘的国际与物理实际国际之间是什么联系？仅把握有限常识的人类怎么才干逾越时空的约束，进入这个永恒不变的奥秘殿堂？另一方面，假设数学仅是人类的发明，而且只存在于人类心智中，那么咱们又怎么解说，自己“发明”出来的如此之多的数学真理，为何会如神迹一般地精确预言了几十年乃至几百年之后才呈现的国际和人类日子中的某些问题呢？这些问题并不简略。正如我在书中重复讲到的，即便在今日，数学家、认知学家和哲学家对此还存在不合。
假设你以为澄清数学究竟是一种“发现”仍是一种“发明”无关紧要，那么请想想这两个词之间的差异在下面这个问题里的深远意味：“天主是一种发现仍是一种发明？”或许另一个更影响的问题：“天主是按自己的容貌发明了人，仍是人类按自己的形象发明了天主？”
在本书中，我将和咱们一同探寻这一问题和其他问题的答案。咱们将回忆前史上以及当今最巨大的数学家、物理学家、哲学家、认知学家和言语学家在各自范畴中做出的卓越贡献，以及在其研讨进程中表现出的真知灼见。书中还要回忆一些近代思想家们的观念、警句和他们对相关问题持有的保留意见。让咱们先以前期哲学家们的某些开创性观念为起点，开端这段激动人心的旅程吧。
题图为电影《天才少女》剧照，来自：豆瓣
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